ฟังก์ชัน

          ในบทนี้เราจะนำมโนมติ (Concept) ที่สำคัญในวิชาคณิตศาสตร์ และจำเป็นในการศึกษาวิชาทฤษฎีเซตมากล่าวไว้ เพื่อให้เกิดความเข้าใจดียิ่งขึ้น แม้ว่าเราจะได้เคยศึกษาเรื่องความสัมพันธ์และฟังก์ชันมาจนคุ้นเคยดีแล้วตั้งแต่ระดับมัธยมศึกษาตอนปลายและในระดับอุดมศึกษาปีที่ 1 แต่ก็มิได้กล่าวถึงคุณสมบัติและมโนมติที่ควรทราบ และควรมีความเข้าในลึกซึ้งพอสมควร ให้เกิดความชัดเจนในเนื้อหาวิชาบ้าง นอกจากนี้ยังจะกล่าวถึงทฤษฎีบทซึ่งจะเป็นคุณสมบัติต่าง ๆ ที่ควรรู้ในที่นี้ด้วย3.1 คู่อันดับและผลคูณคาร์ทีเซียน          เรื่องของคู่อันดับ (Ordered Pair)  และผลคูณคาร์ทีเชียน (Cartesian Product) มีแนวทางการพัฒนาดังต่อไปนี้          สมมติว่าเรามีเซตคู่ เช่น {1,2} ซึ่งเท่ากับ {2,1} เราสามารถกล่าวได้ว่า เซตคู่ {1,2} ไม่มีความสำคัญในการเขียนอันดับของสมาชิก นั่นคือถือว่าการสลับอันดับของการเขียนสมาชิกไม่ทำให้เซตคู่ดังกล่าวนี้แตกต่างไปจากเดิม ในวิชาคณิตศาสตร์ยังมีความต้องการอีกสิ่งหนึ่งซึ่งประกอบด้วย 2 ส่วน และถือว่าอันดับการเขียนแต่ละส่วนมีความสำคัญด้วย ถ้ามีการสลับอันดับของการเขียนแต่ละส่วนแล้วจะไม่ได้สิ่งของสิ่งเดิมอีกต่อไป เช่นการสลับอันดับของสิ่งสองสิ่งในเซตต่อไปนี้                   {{[}¸{[¸(}}  = A
ได้เป็นเซต     {{[¸(}¸{[}}  = B
          เราอาจยังไม่แน่ใจว่า เซต A เท่ากับเซต B หรือไม่ ถ้าเซตทั้งสองไม่เท่ากัน ก็แสดงว่าการสลับอันดับในการเขียนสมาชิกในเซต A ไม่เท่ากับเซต  B          ที่เราเคยศึกษามาแล้วเราทราบว่า การกำหนดสิ่งของสิ่งหนึ่งให้ประกอบด้วย 2 ส่วน แต่ละส่วนแทนด้วย  x ก่อน y  ถือว่าได้สิ่งของ C แต่ถ้าเราเขียน y ก่อน x ถือว่าได้สิ่งของ D โดยที่ C ≠ D  หรือเขียน C = (x,y) และ D = (y,x) การเขียนสิ่งใดก่อนก็ถือได้ว่าสิ่งนั้นเป็นอันดับแรก และที่เราเขียนถัดมาก็เป็นอันดับสอง          เรียกสิ่งที่เขียนเป็นอันดับแรก ว่าพิกัดที่ 1 (First Component) และเรียกสิ่งที่เขียนเป็นอันดับสองว่าพิกัดที่ 2 (Sencond Component)          ถ้าสิ่งที่เรากล่าวมานี้ ซึ่งมีพิกัดที่ 1 และพิกัดที่ 2 หนึ่งสิ่ง สามารถเขียนได้ 2 แบบ สมมติให้เป็น  (x, y)   และ  (u, v)   เปรียบเสมือนคน ๆ หนึ่งมีสองชื่อ  นั่นคือเราได้          (x, y) =  (u, v)  และเราควรได้ผลว่า  x  =  u และ y =  v หรือกล่าวได้ว่า วิธีอื่นใดอีกก็ตามที่กำหนดสิ่งของ (x, y)   ซึ่งทำให้ได้อันดับเป็นสิ่งสำคัญ  หรือได้  (x, y)   ≠   (y, x)              การกำหนด (x, y) โดยวิธีนั้น ๆ ก็จะเป็นการเพียงพอที่จะใช้เป็นคำจำกัดความของคู่อันดับได้          สิ่งที่เรากล่าวนี้ ก็คือคู่อันดับ (x, y) ที่เรารู้จักดีแล้ว นักคณิตศาสตร์ต้องการให้คู่อันดับเป็นเซต แต่ต้องได้เซตที่มีคุณสมบัติดังที่กล่าวมานี้ คือ ถ้า (x, y) = (u, v) แล้วจะได้ x = u และ y = v  หรือได้  (x, y) ≠ (y, x) ในสมัยก่อนจึงมีความพยายามที่จะกำหนดนิยามของคู่อันดับ (x, y) ในรูปเซตอยู่หลายแบบ
 

อ่านต่อ...http://www.myfirstbrain.com/student_view.aspx?ID=86960